ТРИГОНОМЕТРИЯ

Разные тригонометрические формулы:

уравнение	решение
$$\cos (x)=a, \left | a \right |\leqslant 1$$	$$x= \pm \arccos (a)+2 \pi k, k\in \mathbb{Z}$$
$$\sin (x)=a, \left | a \right |\leqslant 1$$	$$x= (-1)^k \arcsin (a)+ \pi k, k\in \mathbb{Z}$$
$$\textrm{tg} (x)=a$$	$$x=\textrm{arctg} (a)+ \pi k, k\in \mathbb{Z}$$
$$\textrm{ctg} (x)=a$$	$$x=\textrm{arcctg} (a)+ \pi k, k\in \mathbb{Z}$$

Преобразование тригонометрических выражений:

формулы для суммы и разности аргументов:

$$\sin ( \alpha \pm \beta )= \sin ( \alpha ) \cos ( \beta ) \pm \cos(\alpha) \sin(\beta)$$

$$\textrm{tg} ( \alpha \pm \beta )= \frac {\textrm{tg}(\alpha) \pm \textrm{tg}(\beta)}{1 \mp \textrm{tg}(\alpha) \textrm{tg}(\beta)}$$

формулы двойного аргумента:

$$\cos ( 2 \alpha ) = \cos^2 ( \alpha )-\sin^2 ( \alpha )= 2 \cos^2 ( \alpha ) -1 =1-2 \sin^2 ( \alpha ) = \frac {1-\textrm{tg}^2(\alpha)}{1+\textrm{tg}^2(\alpha)}$$

$$\textrm{tg}  ( 2 \alpha ) = \frac {2 \textrm{tg}(\alpha)}{1-\textrm{tg}^2(\alpha)}, \; \sin ( 2 \alpha ) = 2 \sin ( \alpha ) \cos ( \alpha ) = \frac {2\textrm{tg} (\alpha)}{1 + \textrm{tg}^2 ( \alpha )}$$

Формулы для сумм тригонометрических функций:

$$\sin (\alpha) \pm \sin (\beta ) = 2 \sin \left ( \frac {\alpha \pm \beta }{2} \right ) \cos \left ( \frac {\alpha \mp \beta }{2} \right )$$

$$\cos (\alpha) + \cos (\beta ) = 2 \cos \left ( \frac {\alpha + \beta }{2} \right ) \cos \left ( \frac {\alpha - \beta }{2} \right )$$

$$\cos (\alpha) - \cos (\beta ) = -  2 \sin \left ( \frac {\alpha + \beta }{2} \right ) \sin \left ( \frac {\alpha - \beta }{2} \right )$$

Используется для метода дополнительного аргумента:

$$a \cdot \cos (\alpha )+b \cdot \sin (\alpha )= r \cdot \cos (\alpha -\varphi ) = r \cdot \sin (\alpha + \theta )$$

где [tex]r=\sqrt {a^2+b^2}[/tex] и [tex]\cos (\varphi ) = \frac {a}{r}, \sin (\varphi ) = \frac {b}{r}, \; \sin ( \theta ) = \frac {a}{r}, \cos ( \theta ) = \frac {b}{r}[/tex]

---

больше формул